수학의 언어로 세상을 본다면 - 수학자 아버지가 들려주는 수학으로 본 세계

미분보다 적분 먼저
절대 잊어버리지 않는 피타고라스 정리 증명법
학교에서 배운 수학을 제대로 이해하자

모든 학문의 여왕, 수학. 인간이 생각을 하게 된 때부터 등장한 수학에는 수천 년에 걸친 인간 지성의 정수가 담겨 있다. 수확물을 분배하고 이자를 계산하는 일부터 지구의 크기를 구하는 문제까지, 수학은 우리 일상과 밀착되어 있다. 하지만 지금 수학은 우리가 가장 멀고 낯설게 느끼는 학문이 되었다. 수학책은 의미를 알 수 없는 기호와 도형들로 가득하고, 우리가 수학 시간에 하는 것도 공식에 맞춰 기계적으로 문제를 푸는 일 밖에 없다. 하지만 수학은 우리가 21세기를 살아가기 위해 꼭 필요한 도구고 언어다. 캘리포니아 공과대학 교수로 세계적 수리물리학자인 오구리 히로시는 자신의 딸 또한 수학의 묘미를 느끼길 바라는 마음으로 이 책을 썼다. 수학 교과서에 나오는 개념들을 따라가면서 때로는 수학자들의 흥미로운 역사를 곁들이고 때로는 이야기글도 덧붙이며 수학의 재미를 돋운다.

왜 미분보다 적분을 먼저 배워야 할까? 고등학교 수학 교과서에서는 보통 미분을 먼저 설명한 후 그 역연산으로 적분을 도입한다. 이러한 순서는 완성된 수학을 논리적으로 가르치기 위해서지만, 역사적인 발전 순서로 보면 정반대다. 적분 계산을 위해 아르키메데스가 구적법을 발명한 것은 기원전 3세기지만 뉴턴과 라이프니츠가 미분법을 고안한 것은 17세기다. 적분은 면적이나 부피 등 눈에 보이는 양을 계산하기 위해 필요한 개념이었기 때문이다. 반면 미분을 이해하려면 극한에 대한 개념을 먼저 알고 있어야 한다. 그렇다면 어려운 미분을 공부하기 전에 직관적으로 이해하기 쉬운 적분부터 익히는 것이 더 쉽지 않을까? 이 책은 수학의 역사를 따라 우리가 직관적으로 알기 쉬운 것부터 차근차근 설명하면서 독자들이 흥미의 끈을 놓지 않는 동시에 수학적 내용을 깊이 있게 이해하도록 돕는다.


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수학은 우리 일상 어디에나 있다

고대 그리스 시대부터 성장해온 수학은 우리 일상 어디에나 있다. 따라서 수학을 이해하는 것은 세상을 읽는 새로운 언어를 획득하는 것과 마찬가지다. 오구리 히로시는 ‘제1장 불확실한 정보를 가지고 판단한다’에서 확률이 아주 조금 유리할 때 도박에서의 승률이 얼마나 높아지는지 계산한다. 가령 내가 상대방보다 3퍼센트 정도로 확률이 유리할 때 충분한 돈을 가지고 내기를 계속하면 판돈을 두 배로 만들 확률은 99.75퍼센트까지 올라간다. 즉, 도박에서는 ‘아주 조금이라도 유리할 때 충분한 돈을 가지고 시작하면 거의 확실하게 이긴다.’ 이 사실은 우리가 얼마나 오래 사는가에도 적용할 수 있다. 이를테면 균형 잡힌 식생활, 적당한 운동, 규칙적인 생활 등 매일의 습관을 건전하게 개선하는 것은 오래 살 확률을 ‘아주 조금 유리하게’ 만들어 우리가 장수할 확률을 대폭 높일 수 있다. 이 확률이 얼마나 높아지는가 숫자로 확실하게 표현할 수 있는 것이 바로 수학의 힘이다!

결국 수학은 필요에 의해 탄생한 학문이다. 고대부터 문명이 발달한 곳에는 항상 수학이 있었고 문명의 기틀이 되어왔다. 아주 멀고 낯설게만 느껴지는 수학이 실상은 우리의 삶과 직접 결부되어 있는 것이다. 가령 분모를 다시 분수로 만들어 단위분수를 이어 만든 ‘연분수’는 달력을 만드는 데 사용되어왔다. 1년을 대략 365.24219일로 두고 분수 근사계산을 하면 365.24219는 365+0.024219≒365+1/4이므로 4년에 한 번 2월 29일까지 있는 달력을 생각할 수 있다. 하지만 이 경우 오차가 0.00781일이 있다. 따라서 ‘4로 나누어지는 해는 윤년으로 하지만 100으로 나누어지고 400으로 나누어지지 않는 해는 윤년으로 하지 않는다’는 규칙에 따라 만든 달력이 지금 우리가 쓰고 있는 그레고리우스력이다.

수학자들만의 전유물 같은 ‘소수’도 우리 생활 깊숙이 자리 잡고 있다. 수의 비밀을 품고 있어 ‘수의 아톰’이라고도 불리는 소수는 고대 그리스부터 현대까지 수학자들을 매료시킨 개념이다. 수학자들은 소수의 출현..